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leetcode股票题目121题122题309题714题123题188题

题目列表(题目从易到难):

121. 买卖股票的最佳时机

122. 买卖股票的最佳时机 II

309. 最佳买卖股票时机含冷冻期

714. 买卖股票的最佳时机含手续费

123. 买卖股票的最佳时机 III

188. 买卖股票的最佳时机 IV

解析:

    这 6 道股票买卖问题是有共性的,我们通过对第四题(限制最大交易次数为 k)的分析一道一道解决。因为第四题是一个最泛化的形式,其他的问题都是这个形式的简化。

    第一题是只进行一次交易,相当于 k = 1;第二题是不限交易次数,相当于 k = +infinity(正无穷);第三题是只进行 2 次交易,相当于 k = 2;剩下两道也是不限次数,但是加了交易「冷冻期」和「手续费」的额外条件,其实就是第二题的变种,都很容易处理。

1.穷举:

    在这里,我们具体到每一天,看看总共有几种可能的「状态」,再找出每个「状态」对应的「选择」。我们要穷举所有「状态」,穷举的目的是根据对应的「选择」更新状态。

    每天都有三种「选择」:买入、卖出、无操作,我们用 buy, sell, rest 表示这三种选择。

    很复杂对吧,不要怕,我们现在的目的只是穷举,你有再多的状态,老夫要做的就是一把梭全部列举出来。这个问题的「状态」有三个,第一个是天数,第二个是允许交易的最大次数,第三个是当前的持有状态(即之前说的 rest 的状态,我们不妨用 1 表示持有,0 表示没有持有)。然后我们用一个三维数组就可以装下这几种状态的全部组合:

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dp[i][k][0 or 1]
0 <= i <= n-1, 1 <= k <= K
n 为天数,大 K 为最多交易数
此问题共 n × K × 2 种状态,全部穷举就能搞定。

for 0 <= i < n:
for 1 <= k <= K:
for s in {0, 1}:
dp[i][k][s] = max(buy, sell, rest)

     而且我们可以用自然语言描述出每一个状态的含义,比如说 dp[3][2][1] 的含义就是:今天是第三天,我现在手上持有着股票,至今最多进行 2 次交易。再比如 dp[2][3][0] 的含义:今天是第二天,我现在手上没有持有股票,至今最多进行 3 次交易。

     我们想求的最终答案是 dp[n-1][K][0],即最后一天,最多允许 K 次交易,最多获得多少利润。

2.状态转移框架:

    现在,我们完成了「状态」的穷举,我们开始思考每种「状态」有哪些「选择」,应该如何更新「状态」。只看「持有状态」,可以画个状态转移图。

图示

    通过这个图可以很清楚地看到,每种状态(0 和 1)是如何转移而来的。根据这个图,我们来写一下状态转移方程:

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dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
max( 选择 rest , 选择 sell )

解释:今天我没有持有股票,有两种可能:
要么是我昨天就没有持有,然后今天选择 rest,所以我今天还是没有持有;
要么是我昨天持有股票,但是今天我 sell 了,所以我今天没有持有股票了。

dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
max( 选择 rest , 选择 buy )

解释:今天我持有着股票,有两种可能:
要么我昨天就持有着股票,然后今天选择 rest,所以我今天还持有着股票;
要么我昨天本没有持有,但今天我选择 buy,所以今天我就持有股票了。

    这个解释应该很清楚了,如果 buy,就要从利润中减去 prices[i],如果 sell,就要给利润增加 prices[i]。今天的最大利润就是这两种可能选择中较大的那个。而且注意 k 的限制,我们在选择 buy 的时候,把 k 减小了 1,很好理解吧,当然你也可以在 sell 的时候减 1,一样的。

    现在,我们已经完成了动态规划中最困难的一步:状态转移方程。如果之前的内容你都可以理解,那么你已经可以秒杀所有问题了,只要套这个框架就行了。不过还差最后一点点,就是定义 base case,即最简单的情况。

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dp[-1][k][0] = 0
解释:因为 i 是从 0 开始的,所以 i = -1 意味着还没有开始,这时候的利润当然是 0 。
dp[-1][k][1] = -infinity
解释:还没开始的时候,是不可能持有股票的,用负无穷表示这种不可能。
dp[i][0][0] = 0
解释:因为 k 是从 1 开始的,所以 k = 0 意味着根本不允许交易,这时候利润当然是 0 。
dp[i][0][1] = -infinity
解释:不允许交易的情况下,是不可能持有股票的,用负无穷表示这种不可能。

把上面的状态转移方程总结一下:

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base case:
dp[-1][k][0] = dp[i][0][0] = 0
dp[-1][k][1] = dp[i][0][1] = -infinity

状态转移方程:
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])

具体题目:

leetcode121题(k=1):

给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

如果你最多只允许完成一笔交易(即买入和卖出一支股票),设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

注意你不能在买入股票前卖出股票。

示例:

示例

题解:

直接套状态转移方程,根据 base case,可以做一些化简:

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dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + prices[i])
dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], dp[i-1][0][0] - prices[i])
= max(dp[i-1][1][1], -prices[i])
解释:k = 0 的 base case,所以 dp[i-1][0][0] = 0。

现在发现 k 都是 1,不会改变,即 k 对状态转移已经没有影响了。
可以进行进一步化简去掉所有 k:
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i])

发现dp[i][0]由前一步的dp[i][0]与dp[i][1]决定(即由dp[i-1][0]与dp[i-1][1]决定),因此可以取消数组的写法:
dp_i_0 = max(dp_i_0,dp_i_1+prices[i]);
dp_i_1 = max(dp_i_1,-prices[i]);

综上,代码为:

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var maxProfit = function(prices) {
var dp_i_0 = 0;//相当于设置dp[-1][0]时的值
var dp_i_1 = -Infinity;//相当于设置dp[-1][1]时的值
for(var i=0;i<prices.length;i++){
dp_i_0 = Math.max(dp_i_0,dp_i_1+prices[i]);
dp_i_1 = Math.max(dp_i_1,-prices[i]);
}
return dp_i_0;
};

leetcode122题(k=+Infinity):

给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票)。

注意:你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。

示例:

示例

示例

题解:
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dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])

发现k是无穷,因此k和k-1是一样大小的。

发现dp[i][0]由前一步的dp[i][0]与dp[i][1]决定(即由dp[i-1][0]与dp[i-1][1]决定),因此可以取消数组的写法:
var temp = dp_i_0;
dp_i_0 = max(dp_i_0,dp_i_1+prices[i]);
dp_i_1 = max(dp_i_1,temp-prices[i]);
代码如下:
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var maxProfit = function(prices) {
var dp_i_0 = 0;
var dp_i_1 = -Infinity;
for(var i=0;i<prices.length;i++){
var temp = dp_i_0;
dp_i_0 = Math.max(dp_i_0,dp_i_1+prices[i]);
dp_i_1 = Math.max(dp_i_1,temp-prices[i]);
}
return dp_i_0;
};

leetcode309题(k=+Infinity含冷冻期):

给定一个整数数组,其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下,你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票):

  • 你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。

  • 卖出股票后,你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

示例:

示例

题解:

每次 sell 之后要等一天才能继续交易。只要把这个特点融入上一题的状态转移方程即可:

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dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-2][0] - prices[i])
解释:第 i 天选择 buy 的时候,要从 i-2 的状态转移,而不是 i-1 。

具体代码:

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var maxProfit = function(prices) {
var dp_i_0 = 0;
var dp_i_1 = -Infinity;
var dp_prev = 0;
for(var i=0;i<prices.length;i++){
var temp = dp_i_0;
dp_i_0 = Math.max(dp_i_0,dp_i_1+prices[i]);
dp_i_1 = Math.max(dp_i_1,dp_prev-prices[i]);
dp_prev = temp;
}
return dp_i_0;
};

leetcode714题(k=+Infinity 含手续费):

给定一个整数数组 prices,其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ;非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易,但是你每次交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票,在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

示例:

示例

题解:

每次交易要支付手续费,只要把手续费从利润中减去即可。改写方程:

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dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i] - fee)
解释:相当于买入股票的价格升高了。
在第一个式子里减也是一样的,相当于卖出股票的价格减小了。
代码实现:
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var maxProfit = function(prices, fee) {
var dp_i_0 = 0;
var dp_i_1 = -Infinity;
for(var i=0;i<prices.length;i++){
var temp = dp_i_0;
dp_i_0 = Math.max(dp_i_0,dp_i_1+prices[i]-fee);
dp_i_1 = Math.max(dp_i_1,temp-prices[i]);
}
return dp_i_0;
};

leetcode123题(k=2):

给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。

示例:

示例

示例

题解:

k = 2 和前面题目的情况稍微不同,因为上面的情况都和 k 的关系不太大。要么 k 是正无穷,状态转移和 k 没关系了;要么 k = 1,跟 k = 0 这个 base case 挨得近,最后也没有存在感。

这道题 k = 2 和后面要讲的 k 是任意正整数的情况中,对 k 的处理就凸显出来了。

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原始的动态转移方程,没有可化简的地方
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])

这里 k 取值范围比较小,所以可以不用 for 循环,直接把 k = 1 和 2 的情况手动列举出来也可以:
dp[i][2][0] = max(dp[i-1][2][0], dp[i-1][2][1] + prices[i])
dp[i][2][1] = max(dp[i-1][2][1], dp[i-1][1][0] - prices[i])
dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + prices[i])
dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], -prices[i])
代码实现:
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var maxProfit = function(prices) {
var dp_i_20 = 0;
var dp_i_10 = 0;
var dp_i_21 = -Infinity;
var dp_i_11 = -Infinity;
for(var i=0;i<prices.length;i++){
dp_i_20 = Math.max(dp_i_20,dp_i_21+prices[i]);
dp_i_21 = Math.max(dp_i_21,dp_i_10-prices[i]);
dp_i_10 = Math.max(dp_i_10,dp_i_11+prices[i]);
dp_i_11 = Math.max(dp_i_11,-prices[i]);
}
return dp_i_20;
};

leetcode188题(k=k):

给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。

示例:

示例

题解:

有了上一题 k = 2 的铺垫,这题应该和上一题的第一个解法没啥区别。但是出现了一个超内存的错误,原来是传入的 k 值会非常大,dp 数组太大了。现在想想,交易次数 k 最多有多大呢?

一次交易由买入和卖出构成,至少需要两天。所以说有效的限制 k 应该不超过 n/2,如果超过,就没有约束作用了,相当于 k = +infinity。这种情况是之前解决过的。

代码实现:
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var maxProfit = function(k, prices) {
if(k>parseInt(prices.length/2)){
return maxProfitAnyk(prices);
}
var dp = [];
for(var j=0;j<k+1;j++){
dp[j] = [];
dp[j][0]=0;
dp[j][1]=-Infinity;
}
for(var i=0;i<prices.length;i++){
for(var j=k;j>=1;j--){
dp[j][0] = Math.max(dp[j][0],dp[j][1]+prices[i]);
dp[j][1] = Math.max(dp[j][1],dp[j-1][0]-prices[i]);
}
}
return dp[k][0];
};
var maxProfitAnyk = function(prices) {
var dp_i_0 = 0;
var dp_i_1 = -Infinity;
for(var i=0;i<prices.length;i++){
var temp = dp_i_0;
dp_i_0 = Math.max(dp_i_0,dp_i_1+prices[i]);
dp_i_1 = Math.max(dp_i_1,temp-prices[i]);
}
return dp_i_0;
};
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